教学设计与反思优化

           ——方程的根与函数的零点

数学组  封荣旭

函数是中学数学中的核心概念，其核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系，给出函数零点的概念，目的是要用函数的观点把所有的中学代数问题都统一到函数的思想指导之下。

方程的根与函数的零点这节课是函数应用的第一课，学生在系统地掌握了函数的概念及性质、基本初等函数知识后，学习方程的根与零点之间的关系，并结合函数的图像和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，在渗透函数与方程的思想同时，也为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础。因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要，也是现在教学和多媒体结合的良好素材。

综合考虑到本节课的地位和知识点导向性，现将教学设计准备和课后反思优化过程呈现以进一步优化教学质量。

一、课前设计准备

1.学情分析

在两个月的教学中，学习者已系统地掌握了函数的概念及性质、基本初等函数知识，对数形结合、分类讨论和转化思想已能够理解和运用，基本功相对比较扎实，并具有一定的自主学习能力和勇攀科学高峰的探究精神。

2.重点难点

本节课重点是方程的根与函数零点的关系及零点的存在性定理的深入理解与应用，难点在于发现与理解方程的根与函数零点的关心，探究发现函数存在零点的方法。

3.目标制定

本节课在知识技能方面，应注重理解函数零点的概念，能够结合具体方程说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系。理解函数零点存在性定理，了解图象不间断的意义及作用；在过程与方法方面，经历“类比——归纳——应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力。初步体会函数与方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题；在情感态度方面，体会函数与方程的形与数、动与静、整体与局部的内在联系，体验发现规律的快乐与体会事物间相互转化以及特殊到一般的辩证思想。

4.教学策略

遵循由浅入深、循序渐进的原则，采用“启发——探究——讨论——归纳——总结——探究”式教学模式，引导学生分析问题由数到形、由形到理，为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础。

二、课堂教学过程

1．零点的定义

使f(x)=0的实数x，说明：函数有零点<>方程有实根<>图像有交点；图象与x轴的

交点的横坐标；零点个数≤根的个数。

2．零点的判定方法

代数法（定义域）：零点是几；几何法（性质作图、拆分作图）：零点个数；定理法：零点所在区间。

3．零点的存在性定理

若f(x)在[a,b]上是连续不断的，且f(a)f(b)< 0，则f(x)在（a,b）内有零点．说明：有零

点：至少一个，多可至无穷个；定理条件+单调=>只有一个零点；定理的单向性。

4．例题探究

例1．①f(x)=(x-1)(x-2)^2的零点是        ．（思考：f(x)=(x-1)(x-2)^2/(x-2)）

②f(x)是定义在R上的奇函数，在(0,+∞)上单调递减，且f(2)=0，则f(x)的零点是        ．

归纳总结：定义在R上的奇函数零点个数必为奇数，各零点之和必为零；定义在R上的偶函数零点个数奇偶只与f(0)=0是否成立有关，各零点之和必为零。

③f(x)=lgx+x-3的零点有        个．（拆分作图、性质作图）

例2．判断f(x)在下列区间内是否有零点：（-1,0）、（1,2）、（2,3）、（3,4）、

（1，4）

总结：满足定理条件可以说明有零点，不满足定理条件不能说明没有零点，当f(a)f(b)> 0时，需根据函数性质和图像特征作进一步探究。

例3．函数f(x)=2ax^2-3x+1在(0,1)内有零点，求a的范围．

分析：可分别从根的分布、对零点个数分类讨论、对开口方向和对称轴角度分类讨论、分离变量这些角度来解决此题，并引导学生可先关注端点处f (0)与f(1)的值或代数特征。

探究：f(x)=2x^(2n-1)+10 x ^2-2 x -1（n为大于等于三的整数）的零点有        个。

5．设计意图

让学生自己总结出研究零点个数问题的方法，并体会数与形的区别与联系，以及性质作图和拆分作图两种策略；通过让学生尝试并进行深入思考，自己总结出为何此法可判断存在一个零点，并引出零点的存在性定理；让学生体会定理中条件的真实含义，满足定理条件一定有零点，不满足定理条件，不能说明一定没零点；得出定理是单向的这个结论，并归纳判定零点问题的三种方法是由数到形、由形到理。

三、教学评价设计

四、课后反思优化

本节主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理，相对其他课时而言梳理知识要点难度较大，讲授时不宜把握主线。

1．整体上看整节课目标圆满完成，知识概念讲授清晰易懂，前后知识借助例题巧妙联系，借助题目贯穿整节课，既学习了新知识，又结合了旧知识和数学思想方法，同时还做出了利于学生培养兴趣和能力的探究，因此说整体效果非常理想；

2．从课后的学生评价来看，知识点的掌握这个目标已经达到了，但是像对例3、例4对数学思维和灵活创新要求相对较高的题目处理起来还是显得能力不足，考虑问题分析问题不够直接，抓不住关键点，因此以后的教学还应继续关注学生能力的培养；

    3．教学中对例3的讲授还不到位，例3很好的融入了很多数学思想和解题技巧，应从

多方面加以深刻分析，使学生从中体会到数学的乐趣与博大精深。

    通过学校专家的评价和学生的课后反应，发现在课堂设问和对题目的多方向点拨上还需

不断加强，相信经过不断的培训和学习，以及备课、修课和磨课，定会在能力上得以进一步

提升，教学质量上达到更高的层次。